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Prosélytisme mathématique de façade ou loi des séries ?

Ce billet va tenter de répondre à quelques questions fondamentales:

1) Peut-on remplacer le numéro inscrit sur la plaque d'une maison par une formule mathématique? Dans ce cas doit-on parler de prosélytisme mathématique de façade ?

 

Un premier exemple en image:

 

We_moved_into_a_new_house_by_TheLastDanishPastry.jpg

Photo : Clive Tooth


Imaginons d'autres exemples de plaques possibles:

 

CodeCogsEqn.gif
CodeCogsEqn(2).gif

 

CodeCogsEqn(3).gif

2) Qu'adviendra-t-il de la profession de facteur? Quid de la formation?

Si l'on imagine une progression spectaculaire des formules remplaçant le numéro des plaques de maisons, le métier de facteur va se trouver en pleine mutation et les compétences demandées à son exercice seront bien supérieures à celles demandées actuellement. Est-ce vraiment envisageable ? Devra-t-on interdire le remplacement des numéros par des formules ou repenser la formation des facteurs? Y aura-t-il certification de plusieurs niveaux de compétences, allant de la simple reconnaissance visuelle de la formule à la compréhension de toutes les formules ?

3) Quels numéros se cachent derrière ces formules ?

On aura reconnu dans l'ordre d'apparition les numéros 6 (photo) comme somme d'une série convergente, 1 avec l'identité d'Euler, 8 par la formule du binôme et 17 en base 2.

4) La loi des séries, ou lorsque l'infini accouche du fini

Lorsque l'on ajoute une infinité de nombres positifs, l'intuition nous laisse penser que le résultat obtenu doit être infini puisque "l'action" sous-jacente l'est. Mais l'intuition peut parfois nous tromper.

Imaginons que l'on ajoute les entiers positifs les uns aux autres. Commençons :1 puis 1+2=3 puis 1+2+3=6 puis 1+2+3+4=10 etc. Les résultats intermédiaires s'appellent des sommes partielles et on imagine bien que si l'on repète les calculs de ces sommes, elles vont grossir j'usqu'à ce que l'on appelle en mathématique l'infini. On dira que la limite de la somme 1+2+3+4+....+n est égale à l'infini symbolisé par la lemniscate :


CodeCogsEqn(4).gif


L'addition des termes est quant à elle est symbolisée par la majuscule grecque "sigma" , on parle de somme:


CodeCogsEqn(5).gif

Comme les branches horizontales sont assez grandes, on peut y placer au dessus et au dessous quelques caractères. En bas on indique généralement la lettre utilisée comme "compteur", celle qui va s'incrémenter, et en haut la valeur pour laquelle on s'arrète, celle-ci pouvant être infinie et donc le nombre de termes de la somme.

La somme des entiers positifs jusqu'à l'infini s'écrit donc de façon condensée :

CodeCogsEqn(6).gif
Puisque le résultat de cette addition n'est pas un nombre, on parlera de divergence.

L'idée est maintenant de diminuer la valeur des termes de l'addition et de regarder ce qui se passe. Si on les remplace tous par 0 on voit facilement que même si l'on repète l'addition une infinité de fois, le résultat sera 0, on parlera de convergence car le résultat est un nombre et l'idée d'additionner une infinité de termes n'aboutissant pas à une somme infinie doit commencer à nous traverser l'esprit. Existe-t-il des "séries"  infinies de nombres" positifs dont la somme est non nulle?

Tiens et si au lieu d'additionner les entiers ont additionnait leurs inverses, ça doit quant même monter moins vite et peut-être s'arréter. Alors qu'en est-il de la convergence de la série suivante ?

CodeCogsEqn(7).gif
C'est mieux, mais les termes sont encore trop grands, cette série qualifiée d'harmonique est aussi divergente. On montre en fait qu'il est toujours possible de regrouper les termes consécutifs dans des paquets dont la somme fait 1 , en ce jusqu'à l'infini. On montre ainsi que la série diverge.

Il faut trouver des termes encore plus petits. Et si l'on prenait les inverses des carrés des entiers. Et là oui ça fonctionne et la série converge. On démontre même le résultat suivant :

CodeCogsEqn(8).gif
Nous ne sommes pas loin de la série de notre photo. En divisant chacun des membres par pi carré on obtient 1/6

CodeCogsEqn(11).gif


et en prenant l'inverse on obtient 6, qui est le numéro de la maison dont la plaque a été photographiée.

 

 

CodeCogsEqn(12).gif

 

 

6) D'autres images de Clive Tooth

 

 


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